Question

【題目】某種產品的質量以其質量指標值衡量，并依據質量指標值劃分等級如表：

質量指標值m	25≤m＜35	15≤m＜25或35≤m＜45	0＜m＜15或45≤m≤65
等級	一等品	二等品	三等品

某企業從生產的這種產品中抽取100件產品作為樣本，檢測其質量指標值，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（同一組數據用該區間的中點值作代表）：

（1）根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“一、二等品至少要占全部產品82%”的規定？

（2）該企業為提高產品質量，開展了“質量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產品質量指標值X近似滿足X～N（31，122），則“質量提升月”活動后的質量指標值的均值比活動前大約提升或降低多少？

（3）若企業每件一等品售價180元，每件二等品售價150元，每件三等品售價120元，以樣本中的頻率代替相應概率，現有一名顧客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為X（單位：元），求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】（1）不能認為這種產品符合規定；（2）降低了1.8；（3）見解析

【解析】

（1）根據抽樣調查數據，可求得樣本中一等品和二等品共有件，進而可得到結論；

（2）由頻率分布直方圖，利用公式求得活動前樣本的均值為，即可作出比較，得到結論；

（3）由樣品估計總體，可得一等品的概率為，二等品的概率為，三等品的概率為，得到隨機變量X的所有可能取值，利用概率的乘法公式，求得取每個值的概率，得到分布列，利用公式即可求得數學期望．

（1）根據抽樣調查數據知，樣本中一等品和二等品共有：（0.5+0.18+0.12）×100=80（件）

在樣本中所占比例為80%，因此不能認為這種產品符合規定.

（2）由頻率分布直方圖知，活動前樣本的均值為0.02×10+0.18×20+0.50×30+0.12×40+0.16×50+0.02×60=32.8，

又由活動后的均值為31，所以均值降低了1.8；

（3）由樣品估計總體知，企業隨機抽取一件產品為一等品的概率為，二等品的概率為，

三等品的概率為，隨機變量X的所有可能取值為240，270，300，330，360．

，

，

．

所以X的分布列為：

X	240	270	300	330	360
P（X）

隨機變量X的數學期望．