Question

【題目】已知函數，函數在處的切線與直線垂直.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）若函數存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）設是函數的兩個極值點，若，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由導數幾何意義得，求出導數，代入解得（Ⅱ）函數存在單調遞減區間，等價于在上有解，求出導函數化簡不等式得在上有解，最后根據二次方程實根分布得充要條件，解得b的取值范圍是.（Ⅲ）先根據是函數的兩個極值點，即是兩個根，得，再化簡，消參數b得，再令得，解得，由解出函數定義域：，可得，最后利用導數求函數最值

試題解析：（Ⅰ）∵，∴.

∵與直線垂直，∴，∴ .

（Ⅱ）

由題知在上有解，

設，則，所以只需故b的取值范圍是.

（Ⅲ）

令 得

由題

，則

，所以令，

又，所以， 所以

整理有，解得

，所以在單調遞減

故的最小值是