Question

【題目】已知橢圓的離心率，過點和的直線與原點的距離為．

(1)求橢圓的方程；

(2)設為橢圓的左、右焦點，過作直線交橢圓于 兩點，求△的內切圓半徑的最大值．

Answer 1

【答案】（１）（２）

【解析】

試題分析：（１）求橢圓標準方程，一般方法為待定系數法，即利用條件列出兩個獨立條件：一是離心率，二是根據點到直線距離公式得，解得a2＝3，b2＝1，c2＝2. （２）由等面積法得S△F1PQ＝ (|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝|F1F2||y1－y2|，再由橢圓定義得ar＝c|y1－y2|，,因此本題轉化為求弦長，利用直線方程與橢圓方程方程組，結合韋達定理可得，最后利用變量分離結合基本不等式求最值

試題解析：(1)直線AB的方程為，即bx－ay－ab＝0.

原點到直線AB的距離為，即3a2＋3b2＝4a2b2.①

c2＝a2.②

又a2＝b2＋c2，③

由①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2. 故橢圓的方程為.

(2)F1(，0)，F2(，0)，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

由于直線PQ的斜率不為0，故設其方程為x＝ky＋，

聯立直線與橢圓的方程，得(k2＋3)y2＋2ky－1＝0.

故④

而S△F1PQ＝S△F1F2P＋S△F1F2Q＝|F1F2||y1－y2|＝，⑤

將④代入⑤，得S△F1PQ＝.

又S△F1PQ＝ (|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝2a·r＝2r，

所以＝2r，故r＝，

當且僅當，即k＝±1時，取得“＝”．

故△PQF1的內切圓半徑r的最大值為.