Question

已知數列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=

1

2

，a2=1，a_n+1=a_n-

1

4

an-1（n≥2）；a_n=

bn

2n

（n∈N^*）．
（Ⅰ）計算b₁，b₂，b₃，并求數列{b_n}，{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：對于任意的n＞3，都有a₁+a₂+a₃＞a₄+a₅+…+a_n．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）直接由數列遞推式求得a₃，然后把數列{a_n}的前3項分別代入a_n=

bn

2n

求得b₁，b₂，b₃．將an=

1

2n

•bn，an+1=

1

2n+1

•bn+1，an-1=

1

2n-1

•bn-1代入an+1=an-

1

4

an-1化簡得：b_n-1+b_n+1=2b_n，說明數列{b_n}是等差數列，求其通項公式后代入a_n=

bn

2n

得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法求出數列{a_n}的前n項和，得到對于任意的n∈N^*，總有S_n＜4，再求出a1+a2+a3=

19

8

＞2得答案．

解答： （Ⅰ）解：由a₁=

1

2

，a2=1，a_n+1=a_n-

1

4

an-1（n≥2），得a3=a2-

1

4

a1=1-

1

4

×

1

2

=

7

8

，
又a_n=

bn

2n

，
∴b₁=2a1=2×

1

2

=1，b₂=4a₂=4，b₃=8a3=8×

7

8

=7；
將an=

1

2n

•bn，an+1=

1

2n+1

•bn+1，an-1=

1

2n-1

•bn-1代入an+1=an-

1

4

an-1化簡得：b_n-1+b_n+1=2b_n，
由等差中項的概念知數列{b_n}是等差數列．
由b₁=1，b₂=4知其公差為3，故b_n=3n-2．
代入a_n=

bn

2n

，得an=

3n-2

2n

；
（Ⅱ）證明：設數列{a_n}的前n項和為S_n．
則Sn=

1

2

+

4

22

+

7

23

+…+

3n-2

2n

，

1

2

Sn=

1

22

+

4

23

+…+

3n-5

2n

+

3n-2

2n+1

，
兩式相減可得：

1 2 Sn= 1 2 + 3 22 + 3 23 +…+ 3 2n - 3n-2 2n+1 = 1 2 + 3 4 [1-( 1 2 )n-1] 1- 1 2 - 3n-2 2n+1 .

∴Sn=4-

3n+4

2n

．
可見，對于任意的n∈N^*，總有S_n＜4．
但a1+a2+a3=

19

8

＞2，
故當n＞3時，a₄+a₅+…+a_n＜2＜a₁+a₂+a₃．

點評：本題是數列與不等式的綜合題，考查了利用等差中項的概念確定數列為等差數列，考查了錯位相減法求數列的和，考查了放縮法證明數列不等式，是壓軸題．