Question

定義：如果一個數列從第二項起，每一項與前一項的差依次構成一個等比數列，則稱這個數列為差等比數列，如果數列{a_n}滿足a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2），a₁=1，a₂=3．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是差等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）S_n是數列{a_n}的前n項和，如果對任意的正整數n（n≥4），不等式S_n≤ka_n-9k恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）把數列的遞推式變形，得到a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），結合a₂-a₁=2≠0，可得數列{a_n}是差等比數列；
（Ⅱ）由數列{a_n+1-a_n}是等比數列求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求出數列{a_n}的前n項和，代入S_n≤ka_n-9k后分類k，構造函數g(n)=2+

18-n

2n-10

，求出其最大值后得答案．

解答： （Ⅰ）證明：由a_n+1=3a_n-2a_n-1，得a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），
∵a₂-a₁=2≠0，
∴

an+1-an

an-an-1

=2，
∴數列{a_n}是差等比數列；
（Ⅱ）解：∵數列{a_n+1-a_n}是等比數列，首項a₂-a₁=2，公比為2，
∴an+1-an=2×2n-1=2n．
則a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1．
∴an=2n-1；
（Ⅲ）解：Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)
=(1+22+…+2n)-n=

1-2n+1

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-2-n．
由S_n≤ka_n-9k，得2ⁿ⁺¹-2-n≤k（2ⁿ-10），
∵n≥4，
∴2ⁿ-10＞0，
則k≥

2n+1-2-n

2n-10

=2+

18-n

2n-10

．
令g(n)=2+

18-n

2n-10

，
知n≥4時，g(n)max=g(4)=

13

3

，
∴k≥

13

3

．

點評：本題考查了數列與不等式的綜合，考查了等比關系的確定，訓練了數列的分組求和，考查了分離變量法，訓練了函數構造法，是壓軸題．