Question

設(shè)-5＜a＜5，集合M={x∈N|2^x-（a+5）x-10=0}．若M≠?，則滿足條件的所有實(shí)數(shù)a的和等于（　　）

• A、-

  3

  5

• B、-

  1

  10

• C、

  1

  10

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：先由條件判斷x≥4，由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，可得f（x）在x≥4時(shí)單調(diào)增，故至多只有一個(gè)零點(diǎn)．分別令
f（4）=0、f（5）=0、f（6）=0、f（7）=0，求得a的值，x≥7時(shí)，f（x）恒大于0，不會(huì)有零點(diǎn)．最后把求得的a值相加，即得所求．

解答： 解：解：∵-5＜a＜5，∴0＜a+5＜10，又∵x為自然數(shù)，且2^x=（a+5）x+10≥10，∴x≥4．
令f（x）=2^x-（a+5）x-10 得：f'（x）=2^x ln2-（a+5）≥16ln2-（a+5）＞0，
即f（x）在x∈（4，+∞）時(shí)單調(diào)增，故至多只有一個(gè)零點(diǎn)．
令f（4）=6-4（a+5）=0，解得 a=-

7

2

；
f（5）=22-5（a+5）=0，解得：a=-

3

5

；
f（6）=54-6（a+5）=0，得：a=4；
f（7）=118-7（a+5）＞0，x≥7時(shí)，f（x）恒大于0，不會(huì)有零點(diǎn)．
因此滿足條件的a有3個(gè)，其和為-

7

2

-

3

5

+4=-

1

10

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．