Question

D（x）=

1，x為有理數 0，x為無理數

，則給出下列結論
①函數D（x）的定義域為{x|x≠0}；        
②函數D（x）的值域[0，1]；
③函數D（x）是偶函數；                   
④函數D（x）不是單調函數．
⑤對任意的x∈R，都存在T₀∈R，使得D（x+T₀）=D（x）．
其中的正確的結論是

 

（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：閱讀型,函數的性質及應用

分析：由函數定義域的概念易知結論①不正確；由函數值域的概念易知結論②不正確；
由偶函數定義可證明結論③正確；由函數單調性定義，易知④結論正確；
由分段函數的定義和有理數與無理數的概念，可證明結論⑤正確．

解答： 解：由于D（x）=

1，x為有理數 0，x為無理數

，
則①函數的定義域為R，故①錯；
②函數D（x）的值域是{0，1}，故②錯；
③由于D（-x）=

1，x為有理數 0，x為無理數

=D（x），則D（x）是偶函數，故③正確；
④由于D（

2

）=0，D（2）=1，D（

5

）=0，顯然函數D（x）不是單調函數，故④正確；
⑤當x為有理數時，D（x）=1，要使D（x+T₀）=D（x）=1，則存在T₀∈Q，使得x+T₀為有理數成立；
當x為無理數時，D（x）=0，要使D（x+T₀）=D（x）=0，則存在T₀∈R，使得x+T₀為無理數成立．
對任意的x∈R，都存在T₀∈R，使得D（x+T₀）=D（x）．故⑤正確．
故答案為：③④⑤

點評：本題考查分段函數及運用，考查函數的性質和運用，考查函數的單調性、奇偶性、值域等性質，考查推理能力，屬于中檔題．