Question

【題目】已知函數

（1）當時，解不等式

（2）若關于的方程的解集中怡好有一個元素，求的取值范圍；

（3）設若對任意函數在區間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或或；（3）

【解析】

（1）當時，解對數不等式即可．

（2）根據對數的運算法則進行化簡，轉化為一元二次方程，討論的取值范圍進行求解即可．

（3）根據條件得到恒成立，利用換元法進行轉化，結合對勾函數的單調性進行求解即可．

解：（1）當時，，

由，得，

即，

解得或，

即不等式的解集為或；

（2）由得．

即，

即，①

則，

即，②，

當時，方程②的解為，代入①，成立

當時，方程②的解為，代入①，成立

當且時，方程②的解為或，

若是方程①的解，則，即，

若是方程①的解，則，即，

則要使方程①有且僅有一個解，則．

綜上，若方程的解集中恰好有一個元素，

則的取值范圍是或或．

（3）函數在區間上單調遞減，

由題意得，

即，

即即

設，則，

，

當時，，

當時，，

在上遞減，

，

，

∴實數的取值范圍是．