Question

【題目】設數列滿足，其中，且， 為常數.

（1）若是等差數列，且公差，求的值；

（2）若，且存在，使得對任意的都成立，求的最小值；

（3）若，且數列不是常數列，如果存在正整數，使得對任意的均成立. 求所有滿足條件的數列中的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）3

【解析】試題分析：（1）利用等差數列定義將條件轉化為公差關系，解方程可得的值；（2）先求的值；即得數列為等比數列，分離變量將不等式恒成立問題轉化為對應函數最值問題： ,即， 最大值，再根據數列單調性確定最大值，即得的最小值；（3）本題由于求周期最小值，可以從小逐個驗證即可： 為常數列，舍去； 時，可推得，舍去； 時，可取一個數列滿足條件.

試題解析：解：（1）由題意，可得，

化簡得，又，所以.

（2）將代入條件，可得，解得，

所以，所以數列是首項為1，公比的等比數列，所以.

欲存在，使得，即對任意都成立，

則，所以對任意都成立.

令，則，

所以當時， ；當時， ；當時， ．

所以的最大值為，所以的最小值為.

（3）因為數列不是常數列，所以．

①若，則恒成立，從而， ，所以，

所以，又，所以，可得是常數列．矛盾．

所以不合題意.

②若，取（*），滿足恒成立．

由，得．

則條件式變為．

由，知；

由，知；

由，知．

所以，數列（*）適合題意．

所以的最小值為.