Question

【題目】已知函數.

（1）若關于的不等式的解集為，求實數的值；

（2）設，若不等式對都成立，求實數的取值范圍；

（3）若且時，求函數的零點.

Answer 1

【答案】（1），．（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據根與系數關系列方程組，解方程組求得的值.

（2）將不等式轉化為，求得左邊函數的最小值，由此解一元二次不等式求得的取值范圍.

（3）利用判別式進行分類討論，結合函數的定義域，求得函數的零點.

（1）因為不等式的解集為，所以-3,1為方程的兩個根，

由根與系數的關系得

，即，．

（2）當時，，

因為不等式對都成立，

所以不等式對任意實數都成立．

令，

所以．

當時，，

所以，即，得或，

所以實數的取值范圍為．

（3）當時，，

函數的圖像是開口向上且對稱軸為的拋物線，

．

①當，即時，恒成立，函數無零點．

②當，即或時，

（ⅰ）當時，，此時函數無零點．

（ⅱ）當時，，此時函數有零點3．

③當，即或時，令，得

，

．

（ⅰ）當時，得，此時，

所以當時，函數無零點．

（ⅱ）當時，得，此時，所以當時，函數有兩個零點：，．

綜上所述：當，時，函數無零點；

當，時，函數有一個零點為3；

當，時，函數有兩個零點：，．