Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，其左頂點在圓上．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）直線交橢圓于兩點，設點關于軸的對稱點為（點與點不重合），且直線與軸的交于點，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）1.

【解析】試題分析：（1）由橢圓C的左頂點A在圓x2+y2=12上，求得a，由橢圓的一個焦點得c=3，由b2=a2-c2得b，即可．
（2）由題意，N1（x2，-y2），可得直線NM的方程，令y=0，可得點P的坐標為（4，0）． 利用△PMN的面積為S= |PF||y1-y2|，化簡了基本不等式的性質即可得出.
試題解析：

（Ⅰ）∵橢圓的左頂點在圓上，∴

又∵橢圓的一個焦點為，∴ ∴

∴橢圓的方程為　

（Ⅱ）設，則直線與橢圓方程聯立

化簡并整理得，

∴，

由題設知 ∴直線的方程為

令得

∴點　　

（當且僅當即時等號成立）

∴的面積存在最大值，最大值為1.