Question

【題目】已知橢圓經過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點在軸上的射影為點，過點的直線與橢圓相交于， 兩點，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）本問考查求橢圓標準方程，根據點在橢圓上，代入得，又離心率，于是可以求出的值，得到橢圓標準方程；（Ⅱ）點在軸上的射影的坐標為，過點N的直線分兩種情況進行討論，當斜率為0時，經分析，不滿足，當的斜率不為0時，可設方程為，與橢圓方程聯立，消元，得到關于的一元二次方程，設， ，由，得，于是可以根據前面的關系式求出的值，得到直線方程.

試題解析：（Ⅰ）由已知可得， ，解得， ，

所以橢圓Γ的方程為．

（Ⅱ）由已知N的坐標為，

當直線斜率為0時，直線為軸，易知不成立．

當直線斜率不為0時，設直線的方程為，

代入，整理得， ，

設， 則

，① ，②

由，得，③

由①②③解得．

所以直線的方程為，即．