Question

【題目】已知函數與有相同的極值點．

(I)求函數的解析式；

(II)證明：不等式（其中e為自然對數的底數）；

(III)不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析；（III）， +2ln3]∪（1，+∞）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出函數的極值點且為極小值點為，因為函數與有相同的極值點，即，求出，再驗算是否使得在取得極小值即可；(II)將不等式化為，證明要證不等式，即證，設，求出的最小值為，即，設， 是減函數， ，所以，即，所以不等式恒成立；(III)分別求出， 在區間上的最大值和最小值，然后分兩種情況：1°b﹣1＞0，對于對于（e為自然對數的底數），不等式恒成立，等價于b﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max； ；2°b﹣1＜0對于不等式恒成立，等價于b﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min， ，故實數b的取值范圍為， +2ln3]∪（1，+∞）

試題解析：（Ⅰ）∵函數的定義域為（0，+∞），

， ，

令得或（舍），

∴在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，

∴函數的極（最）大值為f（1）=﹣1，即是函數的極值點．

∵，∴．

由上知， 是函數的極值點，又∵與有相同極值點，

∴是函數的極值點，∴，解得．

經驗證，當時，函數在時取到極小值，符合題意．

所以．

（Ⅱ）不等式可化為，所以

要證不等式，即證．

設，則，

在上， ， 是減函數；在上， ， 是增函數．

所以，

設， 是減函數， ，

所以，

所以，即，

所以不等式恒成立．

（Ⅲ）∵， ， ，

因為﹣9+2ln3＜＜﹣1，即．

∴， ， ．

由（Ⅰ）知，∴．

當時， ；當時， ．

故在上為減函數，在（1，3]上為增函數．

∵，g（1）=2，g（3）=3+=，而2＜e+＜．

∴， ， ．

1°當b﹣1＞0，即b＞1時，對于對于（e為自然對數的底數），

不等式恒成立，

等價于b﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max，等價于b≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1，

∵，

∴b≥﹣3+1=﹣2，

又∵b＞1，∴b＞1．

2°當b﹣1＜0，即b＜1時，對于不等式恒成立，

等價于b﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min，等價于b≤f（x1）﹣g（x2）]min+1，

，

∴b≤﹣+2ln3，

又∵b＜1，∴b≤﹣+2ln3，

綜上，所求實數b的取值范圍為， +2ln3]∪（1，+∞）．