Question

【題目】已知圓上一點關于直線的對稱點仍在圓上,直線截得圓的弦長為.

(1)求圓的方程;

(2)設是直線上的動點,是圓的兩條切線,為切點,求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1);(2)4.

【解析】

（1）根據對稱性判斷出圓心在直線上，由此設出圓心坐標，利用弦長列方程，解方程求得圓心坐標，進而求得圓的半徑，從而求得圓的方程.

（2）根據圓的切線的幾何性質，判斷出四邊形面積最小時，垂直于直線，根據點到直線的距離公式求得的最小值，進而求得四邊形面積的最小值.

（1）由于圓上一點關于直線的對稱點仍在圓上，所以圓心在直線上，設圓心的坐標為，半徑，依題意直線截得圓的弦長（其中是圓心到直線的距離，即.）所以，即，解得，所以圓心，.所以圓的方程為.

（2），而，所以當最小時，最小，從而最小.的最小值為圓心到直線的距離，即，此時，也即的最小值為，所以四邊形面積的最小值為.