【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理(即確定一個居民月均用水量標準：用水量不超過
的部分按照平價收費，超過的部分按照議價收費)．為了較為合理地確定出這個標準，通過抽樣獲得了40位居民某年的月均用水量(單位：噸)，按照分組
制作了頻率分布直方圖，
（1）從頻率分布直方圖中估計該40位居民月均用水量的眾數(shù)，中位數(shù)；
（2）在該樣本中月均用水量少于1噸的居民中隨機抽取兩人，其中兩人月均用水量都不低于0.5噸的概率是多少？
【答案】（1）眾數(shù)2.25，中位數(shù)2；（2）
．
【解析】
（1）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)直接求解即可
（2）由直方圖可知：月均用水量在
的人數(shù)為2人，記為
，月均用水量在
的人數(shù)為4人，記為
，然后用列舉法求解即可.
（1）由圖可得，該40位居民月均用水量的眾數(shù)為2.25，
因為前四個矩形的面積依次為
，和為
所以中位數(shù)為2；
（2）由直方圖可知：月均用水量在的人數(shù)為：
人，記為，
月均用水量在的人數(shù)為：
人，記為，
從此6人中隨機抽取兩人所有可能的情況有：
， 共15種，
其中月均用水量都在的情況有：
，共6種，
所以兩人月均用水量都不低于0.5噸的概率是
．
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】 在新冠肺炎疫情的影響下，重慶市教委響應(yīng)“停課不停教，停課不停學”的號召進行線上教學，某校高三年級的甲、乙兩個班中，根據(jù)某次數(shù)學測試成績各選出5名學生參加數(shù)學建模競賽，已知這次測試他們?nèi)〉玫某煽兊那o葉圖如圖所示，其中甲班5名學生成績的平均分是83，乙班5名學生成績的中位數(shù)是86.
（1）求出
，
的值，且分別求甲、乙兩個班中5名學生成績的方差
、
，并根據(jù)結(jié)果，你認為應(yīng)該選派哪一個班的學生參加決賽，并說明你的理由.
（2）從成績在85分及以上的學生中隨機抽取2名，用
表示來自甲班的人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
經(jīng)過點
，傾斜角為
，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標原點
為極點，以
軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)寫出直線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；
(2)設(shè)直線與曲線相交于
，
兩點，求
的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距為4．且過點
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)
，
，
，過B點且斜率為
的直線l交橢圓E于另一點M，交x軸于點Q，直線AM與直線
相交于點P．證明：
（O為坐標原點）．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某工廠為生產(chǎn)一種精密管件研發(fā)了一臺生產(chǎn)該精密管件的車床，該精密管件有內(nèi)外兩個口徑，監(jiān)管部門規(guī)定“口徑誤差”的計算方式為：管件內(nèi)外兩個口徑實際長分別為
，標準長分別為
則“口徑誤差”為
只要“口徑誤差”不超過
就認為合格，已知這臺車床分晝夜兩個獨立批次生產(chǎn)．工廠質(zhì)檢部在兩個批次生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取40件作為樣本，經(jīng)檢測其中晝批次的40個樣本中有4個不合格品，夜批次的40個樣本中有10個不合格品．
（Ⅰ）以上述樣本的頻率作為概率，在晝夜兩個批次中分別抽取2件產(chǎn)品，求其中恰有1件不合格產(chǎn)品的概率；
（Ⅱ）若每批次各生產(chǎn)1000件，已知每件產(chǎn)品的成本為5元，每件合格品的利潤為10元；若對產(chǎn)品檢驗，則每件產(chǎn)品的檢驗費用為2.5元；若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對用戶賠償，這時生產(chǎn)的每件不合格品工廠要損失25元．以上述樣本的頻率作為概率，以總利潤的期望值為決策依據(jù)，分析是否要對每個批次的所有產(chǎn)品作檢測？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
以拋物線
的焦點為頂點，且離心率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與橢圓相交于
、
兩點，與直線
相交于
點，
是橢圓上一點且滿足
（其中
為坐標原點），試問在
軸上是否存在一點
，使得
為定值？若存在，求出點的坐標及的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了提高生產(chǎn)線的運行效率，工廠對生產(chǎn)線的設(shè)備進行了技術(shù)改造.為了對比技術(shù)改造后的效果，采集了生產(chǎn)線的技術(shù)改造前后各
次連續(xù)正常運行的時間長度（單位：天）數(shù)據(jù)，并繪制了如莖葉圖：
（1）①設(shè)所采集的
個連續(xù)正常運行時間的中位數(shù)
，并將連續(xù)正常運行時間超過和不超過的次數(shù)填入下面的列聯(lián)表：
超過 | 不超過 | |
改造前 |
|
|
改造后 |
|
|
②根據(jù)①中的列聯(lián)表，能否有
的把握認為生產(chǎn)線技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異？
附：
.
|
|
|
|
|
|
|
|
（2）工廠的生產(chǎn)線的運行需要進行維護，工廠對生產(chǎn)線的生產(chǎn)維護費用包括正常維護費、保障維護費兩種.對生產(chǎn)線設(shè)定維護周期為
天（即從開工運行到第
天
進行維護.生產(chǎn)線在一個生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立.在一個維護周期內(nèi)，若生產(chǎn)線能連續(xù)運行，則不會產(chǎn)生保障維護費；若生產(chǎn)線不能連續(xù)運行，則產(chǎn)生保障維護費.經(jīng)測算，正常維護費為
萬元/次；保障維護費第一次為
萬元/周期，此后每增加一次則保障維護費增加萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)線一個生產(chǎn)周期（以
天計）內(nèi)的維護方案：
，
、
、
、
.以生產(chǎn)線在技術(shù)改造后一個維護周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護費的分布列及期望值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】函數(shù)
．
（1）求
的單調(diào)區(qū)間；
（2）在函數(shù)的圖象上取
兩個不同的點，令直線
的斜率為
，則在函數(shù)的圖象上是否存在點
，且
，使得
？若存在，求
兩點的坐標，若不存在，說明理由．
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