Question

【題目】已知橢圓以拋物線的焦點為頂點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于、兩點，與直線相交于點，是橢圓上一點且滿足（其中為坐標原點），試問在軸上是否存在一點，使得為定值？若存在，求出點的坐標及的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且定點的坐標為.

【解析】

（1）求出拋物線的焦點坐標可得出的值，由橢圓的離心率可得的值，進而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；

（2）設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，求出點的坐標，由點在橢圓上得出，并求出點的坐標，設點，計算出，由為定值求出，由此可求得定點的坐標.

（1）拋物線的焦點坐標為，

由題意可知，且，，則，

因此，橢圓的方程為；

（2）設點、，

聯立，消去并整理得，

由韋達定理得，則，

，即點，

由于點在橢圓上，則，化簡得，

聯立，得，則點，

設在軸上是否存在一點，使得為定值，，

為定值，

則，得，

因此，在軸上存在定點，使得為定值.