Question

【題目】在平面直角坐標系中，動圓經過點M（0，t﹣2），N（0，t+2），P（﹣2，0）．其中t∈R．
（1）求動圓圓心E的軌跡方程；
（2）過點P作直線l交軌跡E于不同的兩點A，B，直線OA與直線OB分別交直線x=2于兩點C，D，記△ACD與△BCD的面積分別為S1 ， S2 ． 求S1+S2的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設動圓的圓心為E（x，y）

則 即：（x+2）2+y2=4+x2

∴y2=﹣4x

即：動圓圓心的軌跡E的方程為y2=﹣4x

（2）

解：當直線AB的斜率不存在時，AB⊥x軸，此時，

∴ ∴ ∴

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的斜率為k，則k≠0，

直線AB的方程是y=k（x+2），k≠0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程 ，消去y，

得：k2（x+2）2+4x=0（k≠0），即：k2x2+4（k2+1）x+4k2=0（k≠0）

∴△=16（2k2+1）＞0， ，x1x2=4

由A（x1，y1），B（x2，y2）知，直線AC的方程為 ，直線AC的方程為 ，

∴ ，∴ ，

∴ ，

∴ ，

令 ，則t＞0， ，

由于 函數 在（0，+∞）上是增函數

∴ ∴ ，

綜上所述，

∴S1+S2的最小值為

【解析】（1）設動圓的圓心為E（x，y），通過 ，化簡求解即可．（2）當直線AB的斜率不存在時，AB⊥x軸，驗證即可．當直線AB的斜率存在時，設直線AB的斜率為k，則k≠0，直線AB的方程是y=k（x+2），k≠0．設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯立方程 ，通過判別式韋達定理化簡，求出直線AC的方程為 ，直線AC的方程為 ，表示出三角形的面積，求出面積和，利用函數的單調性證明即可．