Question

【題目】設拋物線C1：y2=8x的準線與x軸交于點F1 ， 焦點為F2 ． 以F1 ， F2為焦點，離心率為 的橢圓記為C2 ． （Ⅰ）求橢圓C2的方程；
（Ⅱ）設N（0，﹣2），過點P（1，2）作直線l，交橢圓C2于異于N的A、B兩點．
（ⅰ）若直線NA、NB的斜率分別為k1、k2 ， 證明：k1+k2為定值．
（ⅱ）以B為圓心，以BF2為半徑作⊙B，是否存在定⊙M，使得⊙B與⊙M恒相切？若存在，求出⊙M的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知F1（﹣2，0），F2（2，0）． 令橢圓C2的方程為 ，焦距為2c，（c＞0）
則 ，解之得 ，
所以，橢圓C2的方程為 ．
（Ⅱ）（ⅰ）證明：當直線l斜率不存在時，l：x=1，
由 得 或 ，
不妨取 ，則 ，
此時， ，
所以k1+k2=4．
當直線l斜率存在時，令l：y﹣2=k（x﹣1），
由 得（1+2k2）x2+（8k﹣4k2）x+2k2﹣8k=0，
由△=（8k﹣4k2）2﹣4（1+2k2）（2k2﹣8k）＞0得k＞0，或 ．
令A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則 ， ，
所以， ，
所以， = = ，
=
=
= =2k﹣（2k﹣4）=4，
綜上所述，k1+k2=4．
（ⅱ）存在定⊙M，使得⊙B與⊙M恒相切，⊙M的方程為（x﹣2）2+y2=32，圓心為左焦點F1 ，
由橢圓的定義知 ，
所以， ，
所以兩圓相切．
【解析】（Ⅰ）由題意，設橢圓的方程，根據橢圓的離心率公式及c=2，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）（ⅰ）分類，當直線l斜率不存在時，求得A和B點坐標，即可求得k1+k2 ， 當直線l斜率存在時，設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，即可求得k1+k2=4；（ⅱ）定圓⊙M的方程為：（x﹣2）2+y2=32，求得圓心，由拋物線的性質，可求得 兩圓相內切．