Question

【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）的左頂點和上頂點分別為A，B，左、右焦點分別是F1 ， F2 ， 在線段AB上有且僅有一個點P滿足PF1⊥PF2 ， 則橢圓的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：依題意，作圖如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0）， ∴直線AB的方程為： ，整理得：bx﹣ay+ab=0，
設直線AB上的點P（x，y）
則bx=ay﹣ab，
∴x= y﹣a，
∵PF1⊥PF2 ，
∴ =（﹣c﹣x，﹣y）（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2
=（ ）2+y2﹣c2 ，
令f（y）=（ ）2+y2﹣c2 ，
則f′（y）=2（ y﹣a）× +2y，
∴由f′（y）=0得：y= ，于是x=﹣ ，
∴ =（﹣ ）2+（ ）2﹣c2=0，
整理得： =c2 ， 又b2=a2﹣c2 ， e2= ，
∴e4﹣3e2+1=0，
∴e2= ，又橢圓的離心率e∈（0，1），
∴e= ．
橢圓的離心率 ，
故選：D．