Question

【題目】已知函數 的導函數為f'（x）．
（Ⅰ）判斷f（x）的單調性；
（Ⅱ）若關于x的方程f'（x）=m有兩個實數根x1 ， x2（x1＜x2），求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=x+1﹣（1+lnx）=x﹣lnx（x＞0）， 令g（x）=x﹣lnx，由 （x＞0），
可得g（x）在（0，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增，
∴f'（x）=g（x）≥g（1）=1＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增 …（4分）
（Ⅱ）依題意， ，相減得 ，
令 （t＞1），則有 ， ，
欲證 成立，
只需證 成立，
即證 成立，
即證 成立，
令 （x＞1），只需證 成立，
令 （x＞1），
即證x＞1時，F（x）＞0成立 ，
令 （x＞1），
則 （x＞1），
可得h（x）在 內遞減，在 內遞增，
∴ ，
∴F'（x）≥0，
∴F（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴F（x）＞F（1）=0成立，故原不等式成立
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）欲證 成立，問題轉化為證 成立，即證 成立，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．