Question

【題目】設函數f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證：f（x2）≥（ ﹣1）x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（﹣1，+∞）， f′（x）=2x+ = ，
令g（x）=2x2+2x+a，則△=4﹣8a，
①當a≥ 時，△≤0，g（x）≥0，從而f′（x）≥0，
故函數f（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增；
②當a＜ 時，△＞0，g（x）=0的兩個根為
x1= ，x2= ，
當a≤0時，x1≤﹣1＜x2 ， 此時，當x∈（﹣1， ），函數f（x）單調遞減；
當x∈（ ，+∞），函數f（x）單調遞增．
當0＜a＜ 時，﹣1＜x1＜x2 ， 此時函數f（x）在區間（﹣1， ），（ ，+∞）單調遞增；
當x∈（ ， ）函數f（x）單調遞減．
綜上：當a≥ 時，函數f（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增；
當0＜a＜ 時，函數f（x）在區間（﹣1， ），（ ，+∞）單調遞增；
在區間（ ， ），函數f（x）單調遞減；
當a≤0時，x∈（﹣1， ）函數f（x）單調遞減，
x∈（ ，+∞）函數f（x）單調遞增…（6分）
（Ⅱ）證明：當函數f（x）有兩個極值點時，0＜a＜ ，x2= ∈（﹣ ，0），
且g（x2）=2 +2x2+a=0，即a=﹣2 ﹣2x2 ，
f（x2）= +（﹣2 ﹣2x2）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），
=x2﹣2（x2+1）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），
令h（x）=x﹣2（x+1）ln（x+1），x∈（﹣ ，0），
h′（x）=﹣2ln（x+1）﹣1，令h′（x）＞0，x∈（﹣ ， ﹣1），函數單調遞增；
令h′（x）＜0，x∈（ ﹣1，0），函數單調遞減；
∴h（x）max=h（ ﹣1）= ﹣1，∴ ≤ ﹣1，
∵x2∈（﹣ ，0），
∴f（x2）≥（ ﹣1）x2 ．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）得到a=﹣2 ﹣2x2 ， 根據f（x2）= +（﹣2 ﹣2x2）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），得到 =x2﹣2（x2+1）ln（x2+1），x2∈（﹣ ，0），令h（x）=x﹣2（x+1）ln（x+1），x∈（﹣ ，0），根據函數的單調性求出h（x）的最大值，從而證明結論．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．