Question

如圖，已知鞭形ABEF所在平面與直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，∠EFA=60°，點(diǎn)H，G分別是線段EF，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為HE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MG∥平面ADF．
（Ⅱ）求證：平面AHC⊥平面BCE．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)N，連接FN，NG，由于G為BC的中點(diǎn)，ABCD為直角梯形，AB=2CD=4，進(jìn)而可知NG∥AB，且NG=3，又ABEF為菱形，推斷出EF∥AB，且EF=AB=4，又H為EF的中點(diǎn)，M為HE的中點(diǎn)，推斷出FM=3，且FM∥NG，進(jìn)而可知四邊形FMGN為平行四邊形，即MG∥FN，利用線面平行的判定定理知MG∥平面ADF．
（Ⅱ）連接AE，因?yàn)锳BFE為菱形，∠EFA=60°，H為EF的中點(diǎn)，根據(jù)AH⊥EF，即有AH⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，AB為面ABEF與面ABCD的交線，進(jìn)而可知AH⊥面ABCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AH⊥BC，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=4，CD=AD=2，進(jìn)而可求得∠ABC，根據(jù)AB∥CD，求得∠BCD，又在△ADC中，∠ADC=90°，AD=CD，
求得∠ACD，進(jìn)而可知∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°，即AC⊥BC，根據(jù)線面垂直的判定定理知BC⊥平面AHC，最后根據(jù)面面垂直的判定定理推斷出平面AHC⊥平面BCE．

解答： 證明：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)N，連接FN，NG，
∵G為BC的中點(diǎn)，ABCD為直角梯形，AB=2CD=4，
∴NG∥AB，且NG=

AB+CD

2

=3，
又ABEF為菱形，
∴EF∥AB，且EF=AB=4，
又∵H為EF的中點(diǎn)，M為HE的中點(diǎn)，
∴FM=3，且FM∥NG，
∴四邊形FMGN為平行四邊形．
∴MG∥FN，
又∵FN?平面ADF，MG?平面ADF，
∴MG∥平面ADF．
（Ⅱ）連接AE，因?yàn)锳BFE為菱形，∠EFA=60°，H為EF的中點(diǎn)，
∴AH⊥EF，即有AH⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，AB為面ABEF與面ABCD的交線，
∴AH⊥面ABCD，
∵BC?平面ABCD，
∴AH⊥BC，
∵在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=4，CD=AD=2，
∴∠ABC=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=135°
又在△ADC中，∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°，即AC⊥BC，
又AH?平面AHC，AC?平面AHC，
∴BC⊥平面AHC，
∵BC?平面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了面面垂直的判定定理，線面平行的判定定理及線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．