Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=b且a_n=2a_n-1+

1

2n

（n＞1，n∈N^*）
（Ⅰ）若b=-

1

8

，求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）若{a_n}是遞增數(shù)列，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）若?n∈N^*，S_n≥S₂恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)b的值和遞推公式，依次求出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）根據(jù)遞推公式的特點，兩邊同乘以2ⁿ進行變形后構造數(shù)列bn=2nan，代入式子得：b_n=4b_n-1+1，
再設b_n+k=4（b_n-1+k），利用待定系數(shù)法求出k的值，構造新的等比數(shù)列{b_n+

1

3

}，利用等比數(shù)列，的通項公式求出b_n，再求出a_n的表達式，利用條件得：a_n+1-a_n＞0對任意n∈N^*恒成立，代入后化簡求出b的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求出的a_n，利用分組求和法和等比數(shù)列的前n項和公式求出S_n的表達式，再化簡出S_n-S₂的表達式并分離b，再對n進行分類討論，利用恒成立求出最值方法求出對應的b的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由b=-

1

8

，a₁=b且a_n=2a_n-1+

1

2n

（n＞1，n∈N^*）得，
a2=2×(-

1

8

)+

1

4

=0，a3=2×0+

1

8

=

1

8

，a4=2×

1

8

+

1

16

=

5

16

；
（Ⅱ）由a_n=2a_n-1+

1

2n

得，2nan=4(2n-1an-1)+1，
令bn=2nan，則b₁=2a₁=b，b_n=4b_n-1+1，
設b_n+k=4（b_n-1+k），得b_n=4b_n-1+3k，
解得k=

1

3

，即bn+

1

3

=4(bn-1+

1

3

)
∴數(shù)列{b_n+

1

3

}是以2b+

1

3

為首項、4為公比的等比數(shù)列，
∴bn+

1

3

=(2b+

1

3

)•4n-1，則bn=(2b+

1

3

)•4n-1-

1

3

，
故2nan=(2b+

1

3

)•4n-1-

1

3

，
∴an=(2b+

1

3

)•2n-2-

1

3•2n

，
∵{a_n}是遞增數(shù)列，∴a_n+1-a_n＞0對任意n∈N^*恒成立，
則a_n+1-a_n=(2b+

1

3

)•2n-1-

1

3•2n+1

-（(2b+

1

3

)•2n-2-

1

3•2n

）
=(2b+

1

3

)•2n-2+

1

3•2n+1

＞0，
∴2b+

1

3

＞-

1

3•22n-1

對任意n∈N^*恒成立，
又∵-

1

3•22n-1

＜0，
∴2b+

1

3

≥0，解得b≥-

1

6

，
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=(2b+

1

3

)•2n-2-

1

3•2n

，
∴S_n=(2b+

1

3

)•

1 2 (1-2n)

1-2

-

1

3

•

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(b+

1

6

)•(2n-1)-

1

3

•(1-

1

2n

)，
∵?n∈N^*，S_n≥S₂恒成立，
∴(b+

1

6

)•(2n-1)-

1

3

•(1-

1

2n

)≥3b+

1

4

恒成立，
即(2n-4)b≥

3

4

-

1

3•2n

-

2n

6

恒成立，
當n≥3時，由(2n-4)b≥

3

4

-

1

3•2n

-

2n

6

得，
(2n-4)b≥

3

4

-

1

3•2n

-

2n

6

=

9•2n-4-2•22n

12•2n

=

(-2•2n+1)(2n-4)

12•2n

化簡得b≥

1

12•2n

-

1

6

，
只要b≥

1

12•23

-

1

6

=-

15

96

=-

5

32

即可，
當n=2時，2ⁿ-4=0≥

3

4

-

1

3•2n

-

2n

6

=0，成立，
當n=1時，(2n-4)b≥

3

4

-

1

3•2n

-

2n

6

為-2b≥

1

4

，即b≤-

1

8

，
綜上所述：實數(shù)b的取值范圍是-

5

32

≤b≤-

1

8

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式，遞推公式的轉化和應用，以及分組法求數(shù)列的前n項和，構造法求數(shù)列的通項公式，分離法求參數(shù)的值，考查了分類討論思想、轉化思想和恒成立問題，難度較大，需要很強的邏輯思維能力和計算化簡能力．