Question

已知a、b是正常數(shù)，a≠b，x、y∈（0，+∞），不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

（*式）恒成立（等號(hào)成立的條件是ay=bx），利用（*式）的結(jié)果求函數(shù)f(x)=

2

x

+

9

1-2x

(x∈(0，

1

2

))的最小值（　　）

• A、121
• B、169
• C、25
• D、11+6

  2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題目要求，利用已給的性質(zhì)求函數(shù)f（x）的最小值，類比基本不等式求最值思路，可將函數(shù)左邊變形后，運(yùn)用所給規(guī)律時(shí)，使不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

右邊分母為常數(shù)即可，為此將f(x)=

2

x

+

9

1-2x

(x∈(0，

1

2

))中的“

2

x

”變成“

4

2x

”，然后套用規(guī)律求出f（x）的最小值．

解答： 解：由已知x∈(0，

1

2

)，所以x＞0，1-2x＞0，
又∵不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

（*式）恒成立（等號(hào)成立的條件是ay=bx），
∴f(x)=

2

x

+

9

1-2x

=

22

2x

+

32

1-2x

≥

(2+3)2

2x+1-2x

=25，
當(dāng)且僅當(dāng)2（1-2x）=2x•3，即x=

1

5

時(shí)取等號(hào)，顯然成立，
∴函數(shù)f(x)=

2

x

+

9

1-2x

(x∈(0，

1

2

))的最小值為25．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題的解法是建立在運(yùn)用基本不等式求最值的思路基礎(chǔ)上的，要使左邊取得最小值，只需①a、b是正常數(shù)，a≠b，x、y∈（0，+∞）；②x+y是常數(shù)；③等號(hào)成立的條件ay=bx存在．