Question

拋物線y=

1

2

x²將圓面x²+y²≤8分成兩部分，現(xiàn)在向圓面上均勻投點(diǎn)，這些點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為

1

4

+

1

6π

，求

∫

2 0

（

8-x2

-

1

2

x²）dx．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出拋物線y=

1

2

x²將圓面x²+y²≤8分的交點(diǎn)，確定上下限，再由幾何概型求得其面積，問題得以解決．

解答： 解：方程組

x2+y2=8 y= 1 2 x2

得x=±2，
∴陰影部分的面積為

∫

2 -2

（

8-x2

-

1

2

x²）dx．
∵圓的面積為8π，
∴由幾何概型可得陰影部分的面積是8π×(

1

4

+

1

6π

)=2π+

4

3

，
由定積分的幾何意義得，

∫

2 0

（

8-x2

-

1

2

x²）dx
=

1

2

∫

2 -2

（

8-x2

-

1

2

x²）dx．
=π+

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分的幾何意義和幾何概型，屬于基礎(chǔ)題．