Question

【題目】已知y=ax2+bx（a＜0）通過點（1，2），且其圖象與y=﹣x2+2x的圖象有二個交點（如圖所示）．

（1）求y=ax2+bx與y=﹣x2+2x所圍成的面積S與a的函數關系；
（2）當a，b為何值時，S取得最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由y=ax2+bx通過點（1，2）可得a+b=2

即b=2﹣a，由 ，解得

則y=ax2+bx與y=﹣x2+2x所圍成的面積S與a的函數關系為

（2）解：由 ，得 ，

由S'=0得a=﹣3，a=﹣1，

當a=﹣1時，兩曲線只有一個交點，不合題意．

當a＜﹣3，S'＜0，當a＞﹣3S'＞0，

所以當a=﹣3時，S取得極小值，即最小值，此時b=2﹣a=5，

【解析】（1）有已知可得其中一個交點是原點，把另一個交點表示出來，再利用定積分把面積表示處理即可；（2）結合（1）利用導數求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減)．