Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在點處的切線為，直線與軸相交于點.若點的縱坐標恒小于1，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先明確函數(shù)定義域，再求函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)零點進行分類討論：當時， ，因此減區(qū)間為，當時， 遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（Ⅱ）根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線的斜率，再根據(jù)點斜式寫出切線方程，得點的縱坐標，即不等式恒成立，而不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：： 的最大值，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，為單調(diào)遞減，再利用洛必達法則得，因此，也可直接構(gòu)造差函數(shù)，分類討論最值進行求解

試題解析：解：（1）當時， .……………………1分

所以，當時， ；當時， .………………3分

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.……………………4分

（2）因為，所以處切線的斜率，

所以切線的方程為，

令得， .………………………………5分

當時，要使得點的縱坐標恒小于1，

只需，即.…………………………6分

令，則.………………………………7分

因為，所以，

①若，即時， ，

所以，當時， ，即在上單調(diào)遞增，

所以恒成立，所以滿足題意.………………………………8分

②若即時， ，

所以，當時， ，即在上單調(diào)遞減，

所以，所以不滿足題意.…………………………9分

③若，即時， ，

則、、的關(guān)系如下表：

		0
	遞減	極小值	遞增

所以，所以不滿足題意，

結(jié)合①②③，可得，當時， 時，此時點的縱坐標恒小于1.………………12分