Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b，g（x）=e^x（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2
（1）求a，b，c，d的值
（2）若x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）對f（x），g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點(diǎn)P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；
（2）由（1）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的導(dǎo)函數(shù)，通過對k的討論，判斷出F（x）的最值，從而判斷出f（x）≤kg（x）恒成立，從而求出k的范圍．

解答： 解：（1）由已知得f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，
而f'（x）=2x+b，g′（x）=e^x（cx+d+c），∴a=4，b=2，c=2，d=2；
（2）由（1）知，f（x）=x²+4x+2，g（x）=2e^x（x+1），
設(shè)函數(shù)F（x）=kg（x）-f（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2（x≥-2），
F′（x）=2ke^x（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke^x-1），
令F′（x）=0得，x₁=-lnk，x₂=-2，
①若1≤k＜e²，則-2＜x₁≤0，∴當(dāng)x∈（-2，x₁）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）在（-2，x₁）單調(diào)遞減，在（x₁，+∞）單調(diào)遞增，故F（x）在x=x₁取最小值F（x₁），而F（x₁）=2x1+2-

x

2 1

-4x1-2=-x₁（x₁+2）≥0，
∴當(dāng)x≥-2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立，
②若k=e²，則F′（x）=2e²（x+2）（e^x-e²），
∴當(dāng)x≥-2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，∴F（x）在（-2，+∞）單調(diào)遞增，而F（-2）=0，
∴當(dāng)x≥-2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立，
③若k＞e²，則F（-2）=-2ke^-2+2=-2e^-2（k-e^-2）＜0，從而當(dāng)x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x）不可能恒成立．
綜上，k的取值范圍是[1，e²]．

點(diǎn)評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，解題的關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道中檔題．