Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，側面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，設平面PAD∩平面PBC=l．
（Ⅰ）求證：l∥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：PB⊥BC．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵BC平面PAD，AD平面PAD，AD∥BC，

∴BC∥平面PAD

又BC平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，

∴BC∥l．

又∵l平面ABCD，BC平面ABCD，

∴l∥平面ABCD．

（Ⅱ）取AD中點O，連OP、OB，

由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又∵OP∩OB=O，

∴AD⊥平面POB，

∵BC∥AD，

∴BC⊥平面POB，

∵PB平面POB，

∴BC⊥PB．

【解析】（Ⅰ）由已知利用線面平行的判定可證BC∥平面PAD，利用線面平行的性質可證BC∥l，進而利用線面平行的判定證明l∥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中點O，連OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，利用線面垂直的判定可證AD⊥平面POB，由BC∥AD，可證BC⊥平面POB，利用線面垂直的性質即可證明BC⊥PB．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．