Question

【題目】武漢市掀起了轟轟烈烈的“十日大會戰”，要在10天之內，對武漢市民做一次全員檢測，徹底摸清武漢市的詳細情況.某醫院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.

方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結果呈陰性，這個人的血就只需檢驗一次(這時認為每個人的血化驗次)；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗這樣，該組個人的血總共需要化驗次. 假設此次檢驗中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.

（1）設方案②中，某組個人中每個人的血化驗次數為，求的分布列；

（2）設. 試比較方案②中，分別取2,3,4時，各需化驗的平均總次數；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數最多可以減少多少次？(最后結果四舍五入保留整數)

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析；（2），總次數為690次；，總次數為604次；，次數總為594次；減少406次

【解析】

（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為，可得，再由相互獨立事件的概率求法可得個人呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為，隨機變量即可得出分布列.

（2）由（1）的分布列可求出數學期望，然后令求出期望即可求解.

（1）設每個人的血呈陰性反應的概率為，則.

所以個人的血混合后呈陰性反應的概率為，呈陽性反應的概率為，

依題意可知，

所以的分布列為：

（2）方案②中，結合（1）知每個人的平均化驗次數為:

所以當時, ，

此時1000人需要化驗的總次數為690次，

，此時1000人需要化驗的總次數為604次，

時, ，此時1000人需要化驗的次數總為594次，

即時化驗次數最多，時次數居中，時化驗次數最少.

而采用方案①則需化驗1000次，故在這三種分組情況下，相比方案①,

當時化驗次數最多可以平均減少1000-594=406次.