Question

【題目】在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為線段的中點(diǎn)，底面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱相交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）首先證明四邊形為平行四邊形，得到，然后可得平面，然后由線面平行的性質(zhì)定理可證；

（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，首先利用與所成的角為求出，然后算出平面的法向量坐標(biāo)和的坐標(biāo)，然后可算出答案.

（1）證明：因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，且

所以，又因?yàn)?/span>，所以

所以四邊形為平行四邊形

所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面

因?yàn)?/span>平面，平面平面

所以

（2）由（1）可得

因?yàn)?/span>，所以，且平面

所以以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，，，

，，因?yàn)?/span>與所成角為

所以，

解得

所以，，

，，

設(shè)平面得一個(gè)法向量

，可得，可取

設(shè)直線與平面所成的角為