Question

【題目】如圖,四棱錐的側(cè)面是正三角形,,且,,是中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若平面平面,且,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1) 取的中點(diǎn),連接,再證明四邊形是平行四邊形即可.

(2) 取中點(diǎn),連接,,根據(jù)線面垂直性質(zhì)計(jì)算可得,再以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量的方法求解二面角的余弦值即可.

（1）取的中點(diǎn),連接,

因?yàn)?/span>是中點(diǎn),

所以,且,

又因?yàn)?/span>,,

所以,,

即四邊形是平行四邊形,

所以,

又因?yàn)?/span>平面,平面,

所以平面；

（2）方法一：取中點(diǎn),連接,,

因?yàn)?/span>是正三角形,所以,

因?yàn)槠矫?/span>平面,

所以平面,平面,

所以,

故,

以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,

,,,,,,

所以,,

設(shè)平面的法向量為,則,,

令得,

易知平面的法向量為,

則,

所以二面角的余弦值為.

方法二：過作交于,

所以,且平面,

過作交于,連接,

所以,

所以為二面角的平面角,

因?yàn)?/span>,,

因?yàn)?/span>平面,

所以,且,

又因?yàn)?/span>,所以,,

故,所以二面角的余弦值為.