Question

【題目】已知數列滿足：對任意，若，則，且，設，集合中元素的最小值記為；集合，集合中元素最小值記為.

（1）對于數列：，求，；

（2）求證：；

（3）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）416

【解析】

(1)根據題目，直接代入求解即可.

(2)利用反正法進行證明即可.

(3)欲使盡可能大，則任意連續三項和要盡量整體控制大，然后，分類討論即可進行求解

（1）

（2）若，記

則，同樣操作這三組數據得到，這與，矛盾，則

，構造數列：

（3）欲使盡可能大，則任意連續三項和要盡量整體控制大，如果放在數列中前

后各有2個數，則這里對應含有項的3個連續和，這3個和值顯然均大于，

同理也去控制項有，這3個和值顯然均大于，如果我們保證這6項不重疊，

則8個和，就先處理了6個，剩下2個要使得最小值最大，就有如圖排列這種排列：

，則

考慮其中，這一組的和記

可以很快得到

記，若，則這8個數字都要大于等于448，

至多各對應3個數字，對應一個數字，那么這樣最多只有7個數字大于等于448，矛盾

構造數列：，則.