Question

【題目】已知函數(shù)，不等式對(duì)恒成立．

（1）求函數(shù)的極值和函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求實(shí)數(shù)的取值的集合；

（3）設(shè)，函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于的不等式至少有一個(gè)解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極大值為，無極小值； ；（2） ；（3）.

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)大于零和導(dǎo)數(shù)小于零，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得函數(shù)的極值.通過求出切點(diǎn)和斜率，利用點(diǎn)斜式求得切線方程.（2）當(dāng)時(shí)不合題意.當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立.根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性以及極大值，可求得的值.（3）將關(guān)于的不等式左邊構(gòu)造為函數(shù)，對(duì)分成和兩類，分別利用函數(shù)的值域，和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解出的取值范圍.

（1），則時(shí)，時(shí)，故在遞增，在遞減，故； 又，故函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：

（2）顯然，不合題意。當(dāng)時(shí)，由得，則有，故依題意知對(duì)恒成立.由前面的結(jié)論知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故.又可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故 .故，綜上得 .

（3）設(shè)則.當(dāng)時(shí)，，所以不存在 使得成立．故不合題意.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?/span>， 所以在恒成立，故在單調(diào)遞減，，則依題意有.解之得故的取值范圍