Question

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點，與平面所成的角為，且。

（1）求證：平面
（2）求二面角的大小的正切值．

Answer 1

（1）見解析（2）

本試題主要是考查了立體幾何中線面垂直的證明與二面角的平面角的求解。
（1）因為底面，
所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1  易求得，AP=PD=，
又因為AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以，從而根據線面垂直的判定定理得到。
（2）
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,
則平面SAD⊥平面PAD
因為PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
過Q作QR⊥SD,垂足為R,連結PR,
由三垂線定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角，然后接合直角三角形得到求解。

證明：（1）因為底面，
所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角………………．1分
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1  易求得，AP=PD=，……．2分
又因為AD=2，所以AD²=AP²+PD²，所以．………．3分
因為SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD,               ……………．．．．4分
由于SA∩AP=A    所以平面SAP．………………… 5分
（2）設Q為AD的中點,連結PQ,       ……………………………6分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,
則平面SAD⊥平面PAD……．．7分
因為PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
過Q作QR⊥SD,垂足為R,連結PR,
由三垂線定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A－SD－P的平面角．…9分
容易證明△DRQ∽△DAS,則 因為DQ=1，SA=1，，
所以……．10分  在Rt△PRQ中，因為PQ=AB=1，
所以 所以二面角A－SD－P的大小的正切值為．13分