Question

（本題8分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，
PA＝AB＝2，M, N分別為PA, BC的中點．

（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

(I)取AD的中點E，連接NE，ME，易證：.
(II)找出（做）線面角是解題的關鍵.因為平面PAC平面ABCD，所以過N作NF⊥AC于F，連接MF .所以NF⊥平面PAC,∴∠FMN是MN與平面PAC所成的角.

（Ⅰ）取PD的中點E，連接ME, CE．
∵M, N分別為PA, BC的中點，
∴，，∴，
∴MNCE是平行四邊形，∴MN∥CE，……………2分
∵CEÍ平面PCD，MNË平面PCD，
∴MN∥平面PCD．…………………………………2分
（Ⅱ）作NF⊥AC于F，連接MF．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥NF，又∵PA∩AC＝A，
∴NF⊥平面PAC，∴∠FMN是MN與平面PAC所成的角．………2分
在Rt△MFN中，，，，
，
∴．……………………………………………2分