Question

（本小題10分）如圖已知在三棱柱ABC——A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分別是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中點.
 
(1) 求證：面PCC₁⊥面MNQ；
(2) 求證：PC₁∥面MNQ。

Answer 1

見解析。

本試題主要是考查了面面垂直的運用以及線面平行的證明綜合運用。
（1）因為AC=BC， P是AB的中點      ∴AB⊥PC  ∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁
CC₁⊥面ABC而AB在平面ABC內，由此推理得到MN⊥面PCC₁即可。
（2）連PB₁與MN相交于K，連KQ，∵MN∥PB，N為BB₁的中點，∴K為PB₁的中點.
又∵Q是C₁B₁的中點    ∴PC₁∥KQ，則由線面平行 的判定定理得到結論。
證明：（1）∵AC=BC， P是AB的中點      ∴AB⊥PC  ∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁，
∴CC₁⊥面ABC而AB在平面ABC內       ∴CC₁⊥AB， ∵CC₁∩PC=C   ∴AB⊥面PCC₁；      
又∵M、N分別是AA₁、BB₁的中點，四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，MN∥AB，∴MN⊥面PCC₁   
∵MN在平面MNQ內，∴面PCC₁⊥面MNQ； 
（2）連PB₁與MN相交于K，連KQ，∵MN∥PB，N為BB₁的中點，∴K為PB₁的中點.
又∵Q是C₁B₁的中點    ∴PC₁∥KQ 而KQ平面MNQ，PC₁平面MNQ  ∴PC₁∥面MNQ.