Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的最大值；

（2）若對于任意，均有，求正實數的取值范圍；

（3）是否存在實數，使得不等式對于任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】分析：（1）先得出g（x）的具體表達式，然后結合基本不等式即可；

（2），設則.則在恒成立，接下來只需研究函數單調性確定其最小值解不等式即可；（3）存在實數，使得不等式對于任意恒成立，即存在實數，使得不等式對于任意恒成立，故研究函數單調性確定函數的最大值解不等式求解即可.

詳解：

（1）

= ，

當且僅當即當時取，所以當時，.

(2)

設則.

則在恒成立，

記，

當時，在區間上單調增.

故，不成立.

當時，在區間上單調減，

在區間上單調增.

從而，，所以.

（3）存在實數，使得不等式對于任意恒成立，

即存在實數，使得不等式對

于任意恒成立，

記，則，

當時，，則在為增函數.

，此時不成立.

當時，由得，

當時，，則在為增函數.

當時，，則在為減函數.

所以，

當時.

滿足題意當時，令，則記，則

當時，，，在為減函數.

,不成立，

當時，，，在為增函數.

,不成立綜上，時滿足題意.