Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3 ， 則函數(shù)g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上的所有零點(diǎn)的和為 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱， ∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）關(guān)于x=0對(duì)稱，
∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)，
∴f（x）在[﹣ ]上共有3條對(duì)稱軸，分別為x=0，x=1，x=2，
又y=|cos（πx）關(guān)于x=0，x=1，x=2對(duì)稱，
∴x=0，x=1，x=2為g（x）的對(duì)稱軸．
作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可知g（x）在（0， ）和（ ，1）上各有1個(gè)零點(diǎn)，且x=1為g（x）的一個(gè)零點(diǎn)．
∴g（x）在[﹣ ]上共有7個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)這6個(gè)零點(diǎn)從小到大依次為x1 ， x2 ， x3 ， …，x7 ，
則x1 ， x2關(guān)于x=0對(duì)稱，x3 ， x5關(guān)于x=1對(duì)稱，x6 ， x7關(guān)于x=2對(duì)稱，x4=1．
∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，
∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．
所以答案是：7．