Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.

（Ⅰ）（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（ii）已知對于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅱ） 數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，是否存在非零實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？ 并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) （）（） (2)見解析

【解析】

（1）（）由知，作差求得，得到數(shù)列為等差數(shù)列，求得.（）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到，對取倒，得到，裂項(xiàng)相消求得，從而得到M的最小值. （Ⅱ）由（）可知，所以得到，求解數(shù)列得到，檢驗(yàn)，所以不存在.

解：（1）（）時(shí)，，又，

當(dāng)時(shí)，.

作差整理得：

，

，

數(shù)列的等差數(shù)列，.

（）由（）知，

，

不等式恒成立，，

實(shí)數(shù)的最小值是.

（2）由，知，

，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

，

數(shù)列是等比數(shù)列，，

，與矛盾，

不存在非零實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.