Question

【題目】已知函數，其中.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，記函數的兩個極值點為，（其中），當的最大值為時，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當時,在上單調遞增；當時,在和上單調遞增,在上單調遞減. (2)

【解析】

（1）先求得的導函數,并令.通過對判別式及的討論,即可判斷單調性.

（2）根據（1）可知當時,有兩極值點,,且兩個極值點為的兩根.進而可得兩個極值點間的關系.利用作差法可得的表達式,并令,及.進而通過求導得的單調性,進而根據最大值可求得的值.解得,的值.即可得的取值范圍.

（1）.

令,則.

①當或,即時,得恒成立,

∴在上單調遞增.

②當,即時,

由,得或；

由,得.

∴函數在和上單調遞增,

在上單調遞減.

綜上所述,當時,在上單調遞增；

當時,在和上單調遞增,

在上單調遞減.

（2）由（1）得,當時,有兩極值點,（其中）.

由（1）得,為的兩根,

于是,.

∴

.

令,則.

∵,

∴在上單調遞減.

由已知的最大值為,

而.

∴.

設的取值集合為,則只要滿足且中的最小元素為2的集合均符合題意.

又,易知在上單調遞增,

結合,可得與是一一對應關系.

而當,即時,聯合,

解得,,進而可得.

∴實數的取值范圍為.