Question

【題目】已知正項數列的前n項和為，對于任意正整數m、n及正常數q，當時，恒成立，若存在常數，使得為等差數列，則常數c的值為______

Answer 1

【答案】

【解析】

可令m＝n﹣1，結合數列的遞推式和等比數列的通項公式和求和公式，討論q是否為1，結合等差數列的通項公式和對數的運算性質，可得所求結論．

解：因為對任意正整數n，m，

當n＞m時，Sn﹣Sm＝qmSn﹣m總成立，

所以n≥2時，令m＝n﹣1，得到Sn﹣Sn﹣1＝qn﹣1S1，即an＝a1qn﹣1＝qn﹣1，

當n＝1時，也成立，

所以an＝qn﹣1，

當q＝1時，Sn＝n，q≠1時，Sn，

{lg（c﹣Sn）}為等差數列，可得q≠1，

lg（c）＝lgnlgq﹣lg（1﹣q）為等差數列，

即有c（0＜q＜1），

故答案為：c（0＜q＜1）．