Question

【題目】如圖，已知橢圓，為橢圓的左右頂點，焦點到短軸端點的距離為2，且，為橢圓上異于的兩點，直線的斜率等于直線斜率的2倍.

（1）求直線與直線的斜率乘積值；

（2）求證：直線過定點，并求出該定點；

（3）求三角形的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，定點為；（3）

【解析】

（1）由題意可得：a＝2，，a2＝b2+c2，聯立解出可得橢圓E的方程為：1．設P點坐標（x，y），y2（4﹣x2），則A（﹣2，0），B（2，0），利用斜率計算公式可得kAPkBP，由kBQ＝2kAP，可得kBPkBQ．

（2）當直線PQ的斜率存在時，設lPQ：y＝kx+t與x軸的交點為M，與橢圓方程聯立得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4＝0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），由kBPkBQ＝﹣1，即0，利用數量積運算性質、根與系數的關系可得結論．

（3）由（2）可知： t．且S＝S△APQ＝S△APM+S△AQM|y1﹣y2|，利用根與系數的關系、函數的單調性可得S．當直線PQ的斜率不存在時，可得|PQ|，可得S．

（1）解：由題意可得：a＝2，，a2＝b2+c2，

聯立解得a＝2，b＝c．

∴橢圓E的方程為：1．

設P點坐標（x，y），y2（4﹣x2），則A（﹣2，0），B（2，0），則

kAP，kBP，

則kAPkBP，

由kBQ＝2kAP，故kBPkBQ＝﹣1．

∴直線BP與直線BQ的斜率乘積為﹣1為定值．

（2）證明：當直線PQ的斜率存在時，設lPQ：y＝kx+t與x軸的交點為M，聯立，

整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4＝0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2，x1x2，

由kBPkBQ＝﹣1，即0，則y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，

得（k2+1）x1x2+（kt﹣2）（x1+x2）+4+t2＝0，

4k2+8kt+3t2＝0，得t＝﹣2k或tk．y＝k（x﹣2）或y＝k（x），

所以過定點（2，0）或（，0），

A（2，0）為橢圓的右頂點，舍去，

當直線PQ的斜率不存在時，當時易得 ，滿足0

綜上直線PQ過定點M（，0）．

（3）解：由（2）可知：當直線PQ的斜率存在時，t

S＝S△APQ＝S△APM+S△AQM|y1﹣y2|

，令m∈（0，1），則S，

當直線PQ的斜率不存在時，由（2）|PQ|，可得S．

綜上可得：當PQ⊥x軸時，三角形APQ的面積S取得最大值．