Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與拋物線相交于兩點，與橢圓相交于兩點，（為坐標原點），為拋物線的焦點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用焦距、橢圓上的點和橢圓的關系可構造方程組求得，進而得到橢圓方程；

（2）設，與拋物線方程聯立得到，利用構造方程求得，可知恒過定點，則；將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理整理得到，利用換元法，結合函數的單調性可求得所求最值.

（1）橢圓過點，…①，

又橢圓焦距為，則，…②，

由①②可解得：，，橢圓的標準方程為.

（2）由題意可設直線的方程為，設，，

由消去得：，則.

，，

直線的方程為，恒過定點，

由，消去得：.

設，，則，.

，

令，則，

令，則，令，則，

在上單調遞增，

當時，的面積取得最大值，最大值為，此時，直線的方程為.

面積的最大值為.