Question

【題目】已知數列中，滿足記為前n項和．

（I）證明： ；

（Ⅱ）證明：

（Ⅲ）證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】試題分析：（1）因為所以作差，變形可得用數學歸納法證明即可；（2）關于n的等式用數學歸納法證明；（3）由同角三角函數基本關系式 和得，再由 得，化簡可得。再由數列的前n項和及等比數列前n項和公式可得結論。

試題解析：證明：（I）因

故只需要證明即可 ……………………………………………………3分

下用數學歸納法證明：

當時， 成立

假設時， 成立，

那么當時， ，

所以綜上所述，對任意， …………………………………………6分

（Ⅱ）用數學歸納法證明

當時， 成立

假設時，

那么當時，

所以綜上所述，對任意， …………………………10分

（Ⅲ）得 …12分

故 ……15分