Question

【題目】已知數列滿足，，若，則下列判斷正確的是（ ）

A.當時，數列是有窮數列B.當時，數列是有窮數列

C.當數列是無窮數列時，數列單調D.當數列單調時，數列是無窮數列

Answer 1

【答案】D

【解析】

由條件可得，即，若存在正整數，當=0時有，，此時數列為有窮數列.若恒不為0，則由，結合，，則.數列就可以按照此遞推關系一直計算下去，所以此時為無窮數列.由此分析選項得到答案.

由，則，所以.

即，所以數列為等差數列.

所以

設數列，

數列是單調遞增的等差數列，

若存在正整數，當=0時有，，此時數列為有窮數列.

若恒不為0，則由，結合，，則.

數列就可以按照此遞推關系一直計算下去，所以此時為無窮數列.

故只要對任意的非零自然數，都不為0，則為無窮數列.

例如當或時，恒不為0，則為無窮數列，所以A, B不正確.

由遞推關系有：

取時，

則由上的推導可知為無窮數列.

此時數列不是單調數列，所以C不正確.

當數列為有窮數列時，由前面的推導有，存在正整數，當=0時有，

此時數列為.

由，若數列單調，則全為正或全為負.

由 則全為正，而=0.

這與不相符合，即當數列為有窮數列時，數列不可能單調.

所以當數列單調時，數列一定有無窮多項.所以D正確.

故選：D