Question

【題目】已知橢圓C：的焦距為2，左頂點與上頂點連線的斜率為．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）過點P（m，0）作圓x2+y2＝1的一條切線l交橢圓C于M，N兩點，當|MN|的值最大時，求m的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由題意得，解方程組即可得解；

（Ⅱ）討論切線l的斜率存在和不存在，當存在時設切線l方程為y＝k（x﹣m），與橢圓聯立得（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4＝0，由直線與圓相切得，再利用弦長公式表示，從而得解.

（Ⅰ）由題意可知，解之得a＝2，b＝1.故橢圓C的標準方程為．

（Ⅱ）由題意知，|m|≥1，當|m|＝1時，．

當|m|＞1時，易知切線l的斜率存在，設切線l方程為y＝k（x﹣m）．

由，得（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4＝0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），則，

由于過點P（m，0）的直線l與圓x2+y2＝1相切，得 ，；

所以 ．

當且僅當，即時，|MN|＝2，即|MN|的最大值為2．

故m的值為．