Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求在上的最小值；

（2）若直線是函數的切線方程，求實數的值；

（3）若，證明：對任意實數，恒成立．

Answer 1

【答案】（1）0（2）（3）見解析

【解析】

(1)求出函數的到函數，可得的單調性，從而得出其最小值.
(2) 設切點為,由直線是函數的切線方程，則，即，又，即，即得，即求出函數的零點即可.

(3) 因為，所以當時，,所以當時，,設，可得恒成立，且，則時，，即，即，同理可得，從而可證.

解：（1）由于，則，從而在單調遞增，從而．

（2），由題可知，設切點為，
則由，整理得．

當時，不可能；當時，得①．

又，即②．

由①②可得，．

令，則，注意到．

令，則，注意到．

令，則恒成立．

可得時，，時，，所以恒成立，

所以在上單調遞增，可知是方程的唯一解．

所以切點為，．

（3）因為，

所以當時，③，

所以當時，④，

令，則．

當時，；當時，，所以恒成立，且．

設，則．

此時，即，結合③，得，

即，得到，成立

，即，結合④，得，

即，得到，

所以，成立，

所以成立，得證．