Question

【題目】已知函數 .

(1)若，求的最小值；

(2)若,求的單調區間；

(3)試比較與的大小,并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)0；(2)見解析；(3)見證明.

【解析】

（1）a＝1時，f（x）＝|x﹣1|﹣lnx，將絕對值符號化去，分類討論，再求導函數，即可確定函數的單調區間，進而可得f（x）的最小值；

（2）將絕對值符號化去，分類討論，再求導函數，即可確定函數的單調區間；

（3）由（1）可知，lnx≤x﹣1，從而，令x＝n2，可得，再進行疊加，利用放縮法，即可證得結論成立．

(1) 當時,， 在上是遞增.

當時,,.在上是遞減.

故時, 的增區間為,減區間為,.

(2) ①若,

當時,,,則在區間上是遞增的;

當時,,,則在區間上是遞減的

②若,

當時，，

,

則在上是遞增的, 在上是遞減的;

當時, ,

在區間(0,a)上是遞減的,而在x=a處有意義;

則在區間上是遞增的,在區間(0,1)上是遞減的

綜上: 當時, 的遞增區間是,遞減區間是(0,a);

當,的遞增區間是,遞減區間是(0,1)

(3)由(1)可知,當a=1,x時,有

即,

則有+

,

故：+ .