Question

【題目】已知，函數.

（1）當時，解不等式；

（2）若函數的值域為，求實數a的取值范圍；

（3）設，若函數有且只有一個零點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）利用題意得到對數不等式，求解不等式，即可求得最終結果；

（2）將原問題轉化為二次函數的問題，結合二次函數的開口方向和判別式可得關于實數的不等式組，求解不等式組即可；

（3）將原問題轉化為函數只有一個根的問題，然后分類討論即可求得最終結果．

（1）當時，不等式為:，可得:，則不等式解為.

（2）函數，

設函數的值域為M，則，

當，即時，不滿足題意，

當，即時，，得實數的取值范圍是.

（3）因有且只有一個零點，

故，原問題等價于方程

當滿足時，只有唯一解，方程(*)化為，

①當時，解得，此時，滿足題意；

②當時，兩根均為，此時也滿足；

③當且時，兩根為，

當時，，

當時，，

由題意，，解得，

綜上，a的取值范圍是.